不定积分

公式

基本公式

∫kdx=kx+C, ∫kxαdx=kα+1xα+1+C(α≠−1)∫dxx=ln∣x∣+C,∫ekxdx=1kekx+C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C,∫cos⁡xdx=sin⁡x+C,∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C∫csc⁡2xdx=∫dxsin⁡2x=−cot⁡x+C∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C,∫csc⁡xcot⁡xdx=∫cos⁡xsin⁡2xdx=−csc⁡x+C∫11+x2dx=arctan⁡x+C,∫dx1−x2=arcsin⁡x+C\begin{align} &\int kdx=kx+C,\ \int kx^\alpha dx=\frac{k}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C(\alpha\neq -1)\\& \int \frac{dx}{x}=ln|x|+C, \int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C\\& \int \sin xdx=-\cos x+C, \int \cos xdx=\sin x+C, \int \sec^2xdx=\tan x+C\\& \int\csc^2xdx=\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C\\& \int\sec x\tan xdx=\sec x+C, \int\csc x\cot xdx=\int\frac{\cos x}{\sin^2x}dx=-\csc x+C\\& \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C,\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C \end{align}

拓展公式(需要熟悉推导过程)

∫tan⁡xdx=∫sin⁡xdxcos⁡x=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=∫cos⁡xdxsin⁡x=ln∣sin⁡x∣+C∫sec⁡xdx=∫dxcos⁡x=∫cos⁡xdxcos⁡2x=∫d(sin⁡x)1−sin⁡2x=12ln∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣+C∫csc⁡xdx=∫sin⁡xdxsin⁡2x=−∫d(cos⁡x)1−cos⁡2x=−12ln∣1+cos⁡x1−cos⁡x∣+C对于sin⁡nx与cos⁡nx，n较小时若n为偶数:直接通过cos2x=1−2sin2x=2cos2x−1降次若n为奇数:将一个抽取出来凑微分，剩下的部分通过sin2x+cos2x=1进行替换若n较大:记公式(没必要)∫sin⁡nxdx=−1nsinn−1xcosx+∫n−1nsinn−2xdx\begin{align}& \int\tan xdx=\int\frac{\sin xdx}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C\\& \int\cot xdx=\int\frac{\cos xdx}{\sin x}=ln|\sin x|+C\\& \int\sec xdx=\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos xdx}{\cos^2x}=\int\frac{d(\sin x)}{1-\sin^2x}=\frac{1}{2}ln|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}|+C\\& \int\csc xdx=\int\frac{\sin xdx}{\sin^2x}=-\int\frac{d(\cos x)}{1-\cos^2x}=-\frac{1}{2}ln|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}|+C\\\\\\& 对于\sin^nx与\cos^nx，n较小时\\& 若n为偶数:\\& 直接通过cos2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1降次\\& 若n为奇数:\\& 将一个抽取出来凑微分，剩下的部分通过sin^2x+cos^2x=1进行替换\\\\& 若n较大:记公式(没必要)\int\sin^nxdx=-\frac{1}{n}sin^{n-1}xcosx+\int\frac{n-1}{n}sin^{n-2}xdx \end{align}

常凑微分

(凑常数):∫f(ax+b)dx=1a∫f(ax+b)d(ax+b)=1a∫f(t)dt∣t=ax+b(凑xα):xαdx=1α+1dxα+1(凑1x):1xdx=d(ln⁡x)(凑sec⁡2x):sec⁡2xdx=d(tan⁡x)(凑csc⁡2x):csc⁡2xdx=−d(cot⁡x)(凑x):dxx=2d(x)(凑dx二次项式):将分母凑配方，得到1−Ax2的形式(凑1±1x2):(1±1x2)dx=d(x∓1x),而(x∓1x)2=(x2+1x2)±2                       即通过倒代换凑出\begin{align}& (凑常数):\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)=\frac{1}{a}\int f(t)dt\Big\vert_{t=ax+b}\\& (凑x^\alpha):x^{\alpha}dx=\frac{1}{\alpha+1}dx^{\alpha+1}\\& (凑\frac{1}{x}):\frac{1}{x}dx=d(\ln x)\\& (凑\sec^2 x):\sec^2 xdx=d(\tan x)\\& (凑\csc^2 x):\csc^2 xdx=-d(\cot x)\\&(凑\sqrt x):\frac{dx}{\sqrt x}=2d(\sqrt x)\\&(凑\frac{dx}{\sqrt{二次项式}}):将分母凑配方，得到\sqrt{1-Ax^2}的形式\\&(凑1\pm\frac{1}{x^2}):(1\pm\frac{1}{x^2})dx=d(x\mp\frac{1}{x}),而(x\mp\frac{1}{x})^2=(x^2+\frac{1}{x^2})\pm 2\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 即通过倒代换凑出\end{align}

分部积分

∫f(x)g′(x)dx=(f(x)⋅g(x))′−∫f′(x)⋅g(x)\begin{align}\int f(x)g'(x)dx=\Big(f(x)·g(x)\Big)'-\int f'(x)·g(x)\end{align}

求不定积分的技巧

分式

假分式化为真分式(分子最高次幂大于等于分母最高次幂)

exp1:

求∫x3x+3dx解:原式=∫(x+3)(x2−3x+9)−27x+3dx=13x3−32x2+9x−27ln∣x+3∣+C\begin{align}&求\int\frac{x^3}{x+3}dx\\&解:\\&原式=\int\frac{(x+3)(x^2-3x+9)-27}{x+3}dx=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+9x-27ln|x+3|+C\end{align}

具体方法:

真分式化为四种分式

1.∫Ax−adx                Aln∣x−a∣2.∫A(x−a)ndx           A11−n(x−a)1−n3.∫Mx+Nx2+px+qdx     将分母配方为(x−a)2+b的形式即可4.∫Mx+N(x2+px+q)ndx\begin{align}&1.\int\frac{A}{x-a}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Aln|x-a|\\&2.\int\frac{A}{(x-a)^n}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\frac{1}{1-n}(x-a)^{1-n}\\&3.\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx\ \ \ \ \ 将分母配方为(x-a)^2+b的形式即可\\&4.\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx\end{align}

怎么拆开? 假设我们有:

1.分子(x+a)p(x+b)q,则应拆成:A1(x+a)p+A2(x+a)p−1+A3(x+a)p−2+...+B1(x+a)q−1+B2(x+a)q−2+...2.分子(x2+px+q)(其它分母),则应拆成:Ax+Bx2+px+q+...\begin{align}&1.\frac{分子}{(x+a)^p(x+b)^q},则应拆成:\\&\frac{A_1}{(x+a)^p}+\frac{A_2}{(x+a)^{p-1}}+\frac{A_3}{(x+a)^{p-2}}+...+\frac{B_1}{(x+a)^{q-1}}+\frac{B_2}{(x+a)^{q-2}}+...\\\\&2.\frac{分子}{(x^2+px+q)(其它分母)},则应拆成:\\&\frac{Ax+B}{x^2+px+q}+...\end{align}

然后得到:

分子=分式1分子+分式2分子+...\begin{align}分子=分式1分子+分式2分子+...\end{align}