极限

函数极限

数列极限

一元积分学

不定积分

常见微分等式

• $$\begin{align}\mathrm d\left(\ln(x+\sqrt{\pm k^2+x^2})\right)=\frac1{\sqrt{\pm k^2+x^2}}\end{align}$$
• $$\begin{align}\mathrm d\left(x\pm\frac kx\right)=1\mp\frac k{x^2}\end{align}$$，由于 $$\begin{align}\left(x\pm\frac kx\right)^2=x^2+\frac{k^2}{x^2}\pm2k\end{align}$$，遇到分子分母分别为二次、四次多项式，且不包含奇数幂次时，可考虑用分子凑出该微分，而分母通过配方化作该式的平方，实现降幂
• $$\begin{align}\mathrm d(\sin x\pm\cos x)=\cos x\mp\sin x\end{align}$$，在处理$\sin x\cos x$时很有效

常见计算技巧

• 更换积分对象：

  • 分部积分： $$\begin{align}\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du\end{align}$$，若分部后的积分容易算，采用分部积分
  • 例一：分母带平方或其它幂次方，可尝试用分母凑微分，实现分母降幂

• 三角代换或三角公式：

  • 包含 $$\begin{align}\sqrt{k^2+x^2}\mathrm dx\end{align}$$的表达式，可令$x=k\tan t$，则$\mathrm dx=k\sec^2t\,\mathrm dt、\sqrt{k^2+x^2}=k\sec t$
    • 此外，通过直角三角形可知， $$\begin{align}\sin t=\frac x{\sqrt{1+x^2}}、\cos t=\frac1{\sqrt{1+x^2}}\end{align}$$
    • 例如 $$\begin{align}&\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}\xlongequal{x=\tan t}\int\sec t\,\mathrm dt=\int\frac{\mathrm d(\sin t)}{1-\sin^2t}\\&=\ln(\sqrt{\frac{1+\sin t}{1-\sin t}})+C=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C\end{align}$$
  • 包含$\sqrt{k^2-x^2}\mathrm dx$的表达式，可令$x=k\sin t$或$x=k\cos t$
  • 包含$\sqrt{x^2-k^2}\mathrm dx$的表达式，可令$x=k\sec t$，则 $$\begin{align}\mathrm dx=k\frac{\sin x}{\cos^2x}、\sqrt{x^2-k^2}=k\tan x\end{align}$$
  • 通过倍角公式，当分母是关于三角函数的多项式时，将其变为单项式
  • 通过辅助角公式，将所有$\sin x\pm\cos x、\sin x\cos x$统一为一个含有特定角度的三角函数；或者取$\sin x\pm\cos x$化为微分$\mathrm d(\pm\sin x-\cos x)$，将剩余的$\sin x\cos x$化为$(\pm\sin x-\cos x)^2+k$的形式后，令$t=\pm\sin x-\cos x$

• 微分代换：分母根式借助配方和微分等式代换，但一般没有三角代换常用

  • $$\begin{align}\mathrm d(\arcsin x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\end{align}$$
  • $$\begin{align}\mathrm d\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}\end{align}$$

• 区间再现：实际上是定积分的技巧，包括正弦、余弦函数的华里士公式；体现在不定积分上，实际上就是通过分部积分导出的含有重复待求积分的式子。当幂数不常见时，可通过该方法求出递推式z

• 欧拉变换：设被积函数为关于$x$的，包含$\sqrt{ax^2+bx+c}$根式的函数

  • 欧拉第一代换：若$a>0$，则可令整个根式$=t\pm\sqrt ax$
  • 欧拉第二代换：若$c>0$，则可令整个根式$=xt\pm\sqrt c$
  • 欧拉第三代换：若可十字相乘(有两不同实根)，可令整个根式$=t(x-x_1)$，其中$x_1$为其中一个实根

• 万能代换将三角函数换为有理式：令

  $$\begin{align}t=\tan\frac x2\end{align}$$

  ，则

  $$\begin{align}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}、\cos t=\frac{1-t^2}{1+t^2}、\mathrm dx=\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt\end{align}$$

• 积分抵消：仍是通过分部积分

  $$\begin{align}uv=\int u\mathrm dv+\int v\mathrm du\end{align}$$

  ，若两个不定积分都不好求，但刚好能凑出两个该形式的不定积分，则可合成一个$uv$；有时有两个不相关的不定积分，也可尝试分别分部积分，分出的部分可能是有关的

题集

典型分母降幂

积分抵消，最后一步可不写

中值定理

复习

常用定理定义

• 零点定理：若$f(x)$在$[a,b]$内连续，且$f(a)f(b)<0$，则至少存在一点$x_0\in(a,b)$，使$f(x_0)=0$；零点定理可视为介值定理的特例
• 唯一零点定理：在零点定理成立的条件下，若$f(x)$可导且$f'(x)\ne0$，则有且仅有一点使$f(x_0)=0$
• 介值定理：设$f(x)$在$(a,b)$内连续，且最大值为$M$，最小值为$m$，若有$m\le A\le M$，则至少存在一点$x_0\in(a,b)$，使$f(x_0)=A$
• 罗尔中值定理：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$内函数连续、开区间$(a,b)$内函数可导，且$f(a)=f(b)$，则在开区间$(a,b)$内存在一点$\xi$，使$f'(\xi)=0$；$\rm Rolle$中值定理是$\rm Largrange$中值定理的特例
• 拉格朗日中值定理：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$内函数连续、开区间$(a,b)$内函数可导，则在开区间$(a,b)$内存在一点$\xi$，使 $$\begin{align}f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\end{align}$$；$\rm Largrange$中值定理是$\rm Taylor$中值定理的特例
• 泰勒中值定理：若$f(x)$在$x_0$的$(a,b)$邻域内有$n+1$阶导，则存在介于$x$和$x_0$之间的中值$\xi$($x\in (a,b)$)，使其泰勒展开后拉格朗日型余项为 $$\begin{align}R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\end{align}$$
• 积分中值定理：若有 $$\begin{align}\int_a^bf(x)dx=0\end{align}$$，则存在一点$x_0\in(a,b)$，使$f(x_0)=0$

构造辅助函数(->微分方程)

通过中值定理证明给定方程$F(x)=0$的题型中，寻找辅助函数的过程相当于解出微分方程后移项，常见构造如下(可不记，相当于初等微分方程)：

• 构造的$G(x)$可任意加常数$C$，该常数根据所给条件，最终必须凑出$G(a)=G(b)$，一般是$0$
• 形如$f'(x)+P(x)f(x)=0$的待证方程，通常构造 $$\begin{align}G(x)=f(x)e^{\int P(x)dx}+C\end{align}$$
• 形如$f'(x)+P(x)f(x)=Q(x)$的待证方程，通常构造 $$\begin{align}G(x)=f(x)e^{\int P(x)dx}-\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C\end{align}$$
• 形如$f''(x)+pf'(x)+qf(x)=Q(x)$的待证方程，通常将$F(x)=f'(x)-Af(x)$作为整体降阶，相当于解差分方程，即$\lambda^2+p\lambda+q=0$的解分别作为$A、P$，得到等价的降阶方程$F'(x)+PF(x)=Q(x)$；类似的三对角行列式、递推数列也是差分方程