无穷级数

常数项级数

定义

无穷多个数相加，记为

∑n=1∞un\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}

，称为常数项无穷级数，又称常数项级数或级数

部分和数列

令

Sn=∑k=1nuk(n=1,2,...)\begin{align}S_n=\sum_{k=1}^nu_k(n=1,2,...)\end{align}

，我们说，当n→∞n\rightarrow\infty时，

Sn≈∑n=1∞un\begin{align}S_n\approx\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}

敛散性

当

lim⁡n→∞Sn=S\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S\end{align}

，且SS为一个有限值时，称

∑n=1∞un\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}

收敛，且称SS为它的和，否则称它发散

对于敛散性问题，我们将它转换成求SnS_n通项，再判断极限是否存在的问题

常见级数

  • 调和级数： ∑n=1∞1n\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac1n\end{align}发散
    • 证明:un=1n=∫nn+11ndx>∫nn+11xdx∴Sn>∫1n+11xdx=ln⁡x∣1+∞=+∞∴∑n=1∞1n发散\begin{align}&证明:u_n=\frac1n=\int_n^{n+1}\frac1ndx>\int_n^{n+1}\frac1xdx\\&\therefore S_n>\int_1^{n+1}\frac1xdx=\ln x\Bigg|_1^{+\infty}=+\infty\\&\therefore\sum_{n=1}^\infty \frac1n发散 \end{align}
  • p级数(超调和级数)： ∑n=1∞1np\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\end{align}当p≤1p\le1时发散，当p>1p>1时收敛
    • 证明:un=1np=∫nn+11npdx>∫nn+11xpdxun=1np=∫n−1n1npdx<∫n−1n1xpdx∴Sn>∫1n+11xpdx，Sn<∫0n1xpdx1)当p=1时，为调和级数，已证明为发散2)当p<1时，Sn>11−px1−p∣1+∞，易得p<1时发散3)当p>1时，Sn<11−px1−p∣1+∞，易得p>1时收敛\begin{align}&证明:u_n=\frac1{n^p}=\int_n^{n+1}\frac1{n^p}dx>\int_n^{n+1}\frac1{x^p}dx\\&u_n=\frac1{n^p}=\int_{n-1}^{n}\frac1{n^p}dx<\int_{n-1}^{n}\frac1{x^p}dx\\&\therefore S_n>\int_1^{n+1}\frac1{x^p}dx，S_n<\int_0^n\frac1{x^p}dx\\&1)当p=1时，为调和级数，已证明为发散\\&2)当p<1时，S_n>\frac1{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{+\infty}，易得p<1时发散\\&3)当p>1时，S_n<\frac1{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{+\infty}，易得p>1时收敛\end{align}
  • ∑n=2∞1np(ln⁡x)q\begin{align}\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p(\ln x)^q}\end{align}当p<1p<1时发散；当p>1p>1时收敛；当p=1p=1时，{发散,q≤1收敛,q>1\begin{cases}发散,&q\le1\\收敛,&q>1\end{cases}

级数的性质

  • 一个级数乘以一个实数不改变其敛散性
  • 两收敛级数相加减得到的级数仍收敛，且S=S1±S2S=S_1\pm S_2
  • 改变级数的有限个项，级数的敛散性不变
  • 若用括号将级数(S1)的部分项合并为一项，将得到的级数称为S2，若S1收敛则S2仍收敛，若S2发散则S1必发散
  • ∑n=1∞un收敛⇒lim⁡n→∞un=0，反之不成立(例如调和级数); lim⁡n→∞un≠0⇒∑n=1∞un发散\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0，反之不成立(例如调和级数);\ \lim_{n\rightarrow\infty}u_n\ne0\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n发散\end{align}

正项级数的比较判别法

一般形式

对于正项级数，{Sn}\{S_n\}本身是单调递增的，根据单调有界收敛原理，若

lim⁡n→∞Sn\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n\end{align}

存在，则该级数收敛

正项级数的比较判别法与无穷区间上反常积分的比较判别法类似：

若存在N∈N+,当n≥N时0<un≤vn,若∑n=1∞un发散,则∑n=1∞vn发散;若∑n=1∞vn收敛,则∑n=1∞un收敛 \begin{align}若存在N\in N^+,当n\ge N时0<u_n\le v_n,若\sum_{n=1}^\infty u_n发散,则\sum_{n=1}^\infty v_n发散;若\sum_{n=1}^\infty v_n收敛,则\sum_{n=1}^\infty u_n收敛\end{align}

在用比较判别法判断时，应强调一般项的正负和用于比较的标准级数

标准级数一般为p级数、等比级数等

极限形式

若lim⁡n→∞unvn=l(un、vn>0):1)若0<l<+∞，则∑n=1∞un和∑n=1∞vn的敛散性相同(此时k1vn<un<k2vn)2)若l=0，则说明un<vn，对应比较判别法3)若l=+∞，则说明vn<un \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(u_n、v_n>0):\\&\large1)若0<l<+\infty，则\sum_{n=1}^\infty u_n和\sum_{n=1}^\infty v_n的敛散性相同(此时k_1v_n<u_n<k_2v_n)\\&\large2)若l=0，则说明u_n<v_n，对应比较判别法\\&\large3)若l=+\infty，则说明v_n<u_n\end{align}

正项级数的比值判别法

比较判别法需要借助一个别的标准级数，而比值判别法由级数本身来确定它的敛散性

若lim⁡n→∞un+1un=ρ(un>0):1)当ρ<1时，级数收敛2)当ρ>1或ρ=+∞时，级数发散 \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho(u_n>0):\\&\large1)当\rho<1时，级数收敛\\&\large2)当\rho>1或\rho=+\infty时，级数发散\end{align}

正项级数的根植判别法

也称柯西判别法，当一般项的外部带n次方时可以使用

若lim⁡n→∞unn=ρ(un>0):1)当ρ<1时，级数收敛2)当ρ>1或ρ=+∞时，级数发散 \begin{align}&\large若\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho(u_n>0):\\&\large1)当\rho<1时，级数收敛\\&\large2)当\rho>1或\rho=+\infty时，级数发散\end{align}

正项级数的积分判别法

上述的调和级数和p级数敛散性问题借用反常积分转换为了反常函数判别法的问题，对于正项级数，如果它的一般项单调递减，则它与

∫1+∞u(x)dx\begin{align}\int_1^{+\infty}u(x)dx\end{align}

的敛散性相同

交错级数的莱布尼茨判别法

交错级数，即各项正负相间的级数，表现为

∑n=1∞(−1)n−1un\begin{align}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n\end{align}

若unu_n单调递减且

lim⁡n→∞un=0\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\end{align}

，则交错级数收敛

绝对收敛与条件收敛

对任意项级数，由其每一项的绝对值组成的新级数称为绝对值级数，如果它收敛，则原级数也收敛，这称为原级数绝对收敛。因此对于一个交错级数，既可以用莱布尼茨判别法，也可以用正项级数的判别法

但是，当绝对值级数发散时，不能断定原级数发散，而只能说明它不是绝对收敛。如果原级数收敛而绝对值级数发散，则称原级数条件收敛，例如

∑n=1∞(−1)n−11n\begin{align}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n\end{align}

因为交错级数的部分和数列是小于它的绝对值级数的部分和数列的，这就很像比较判别法：大的收敛则小的也收敛；而大的发散，小的不一定发散

但是，由比值判别法或根值判别法得出绝对值级数发散的原级数也发散，这很好理解：由比值判别法得到unu_n单调递增，不符合莱布尼茨判别法的第一条件；由根值判别法得到

lim⁡n→∞un=+∞\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\end{align}

，不符合莱布尼茨判别法的第二条件

->插曲：一个很有意思的事，欧拉证明欧拉公式时用到了泰勒级数的知识，被称为形式推导，没有考虑到eiπe^{i\pi}展开后条件收敛的情况，这时调节项的位置有可能改变它的敛散性，这样证明是不严谨的

黎曼重排定理：一个条件收敛的级数存在不同的排序方法，使其收敛于任意数(包括+∞+\infty)

证明：假设级数

∑n=1∞un\begin{align}\sum_{n=1}^\infty u_n\end{align}

条件收敛，由于

∑n=1∞∣un∣\begin{align}\sum_{n=1}^\infty |u_n|\end{align}

发散，故必有发散的两个子级数

∑n=1∞an、∑n=1∞bn\begin{align}\sum_{n=1}^\infty a_n、\sum_{n=1}^\infty b_n\end{align}

，其中an<0,bn>0a_n<0,b_n>0，由原级数条件收敛的性质，虽然它们发散，但

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=0\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0\end{align}

设想一个值S，它可以是有限值或无穷，从bnb_n中取有限个项直至重排数列的和大于S，再从ana_n中取有限个项直至重排数列的和小于S，重复此操作直到an与bna_n与b_n剩下无穷个趋于0的项，这样，重排后的数列和将无限接近S

一个简单、不严谨的例子：级数(1−1)+(1−1)+...(1-1)+(1-1)+...收敛于0，取一个1放在开头，变成：1+(1−1)+(1−1)+...1+(1-1)+(1-1)+...，则它收敛于1。这只是便于理解，但它是错误的，不能随意去掉收敛级数的括号或给发散级数添加无限个括号

函数项级数

定义

所谓函数项级数，就是每一项都由一个函数组成的级数

如果在x=x0x=x_0处形成的数项级数收敛，则称它为这个函数项级数的收敛点，否则称为发散点

所有收敛点的集合称为这个幂级数的收敛域

幂级数

幂级数是最广泛的一类函数项级数，

∑n=0∞anxn\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}

称为xx的幂级数

阿贝尔定理

若一个幂级数在x=x0x=x_0处收敛，则它在(−∣x0∣, ∣x0∣)(-|x_0|,\ |x_0|)上绝对收敛；如果在此处发散，则它在(−∞, −∣x0∣)∪(∣x0∣, +∞)(-\infty,\ -|x_0|)\cup(|x_0|,\ +\infty)上发散

幂级数只有三种情况：存在一个RR

  • 如果0<R<+∞0<R<+\infty，则幂级数在(−R,R)(-R,R)上绝对收敛，在(−∞,−R)∪(R,+∞)(-\infty,-R)\cup(R,+\infty)上发散
  • 如果R=0R=0，则幂级数处处发散
  • 如果R=+∞R=+\infty，则幂级数处处绝对收敛

所以，收敛域一般是形如(−R,R)(-R,R)的区间，因此在x=±Rx=\pm R处需要额外判断敛散性

收敛半径计算法

RR的求法类似比值判别法，对于幂级数

∑n=0∞anxn\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}

的绝对值级数，假设有：

lim⁡n→∞∣an+1xn+1anxn∣=ρ∣x∣,即lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\Bigg|=\rho|x|,即\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|=\rho\end{align}

则当ρ∣x∣<1\rho|x|<1，即

∣x∣<1ρ\begin{align}|x|<\frac1\rho\end{align}

时，级数收敛，反之发散

因此：当ρ≠0\rho\ne0时，

R=1ρ\begin{align}R=\frac1\rho\end{align}

；当ρ=0\rho=0时，R=+∞R=+\infty；当ρ=+∞\rho=+\infty时，R=0R=0

所以，我们求

lim⁡n→∞∣anan+1∣\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Bigg|\end{align}

，对应的结果便是RR

这个方法只适用于缺有限项或不缺项的幂级数，而类似

∑n=0∞anx2n\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}\end{align}

这样缺无穷多项的级数应直接用比值判别法

推论：形似

∑n=0∞anxkn\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^{kn}\end{align}

的收敛半径为Rk\sqrt[k]R

性质

  • 线性运算：两个幂级数相加减，收敛半径为R=min⁡(R1,R2)R=\min(R_1,R_2)
  • 乘法运算：两个幂级数相乘，收敛半径也为RR
  • 若 ∑n=0∞anxn\begin{align}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\end{align}收敛半径为RR，则 ∑n=1∞nanxn−1、∑n=2∞n(n−1)anxn−2\begin{align}\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}、\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}\end{align}和 ∑n=0∞1n+1anxn+1\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}\end{align}的收敛半径也为RR
  • 假设幂级数的和函数为S(x)S(x)，收敛半径为RR，则S(x)S(x)在(−R,R)(-R,R)上连续且可导且可积，且：
    • S′(x)=∑n=1∞nanxn−1\begin{align}S'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\end{align}，根据第三点，S′(x)S'(x)对应的幂级数收敛半径也为RR
    • ∫0xS(x)dx=∑n=0∞1n+1anxn+1\begin{align}\int_0^xS(x)dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}\end{align}，根据第三点，它对应的幂级数收敛半径也为RR
    • 求导或积分后对应的幂级数在x=Rx=R上的敛散性可能变化

泰勒级数

幂级数形式简单，有许多性质，而且可以把无法用初等函数表示的函数写成幂级数(例如一些函数的原函数)

把已知函数化为幂级数：

由f(x)在x=x0f(x)在x=x_0处的泰勒展开

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...\begin{align}f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...\end{align}

，得f(x)f(x)在x=x0x=x_0处的泰勒级数为

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\begin{align}f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n\end{align}

，充要条件为f(x)f(x)在x=x0x=x_0处有任意阶导数且

lim⁡n→∞(拉格朗日型余项)\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}(拉格朗日型余项)\end{align}

趋于0

一般地，将f(x)f(x)展开为泰勒级数的步骤为：

  • 对f(x)f(x)高阶求导，得到幂级数
  • 求幂级数的收敛域
  • 证明 lim⁡n→∞f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1=0\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0\end{align}

更好的方法为：记住常见的泰勒级数，对它们或求导，或积分，或换元来求所求函数的幂级数，例如要求g(x)=f′(x)=cos⁡xg(x)=f'(x)=\cos x的级数，只需对f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x的泰勒级数逐项求导即可

常见的麦克劳林级数：

傅里叶级数

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\begin{align}f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\end{align}

狄利克雷收敛定理

如果Tf(x)=2πT_{f(x)}=2\pi且f(x)f(x)在(−π,π](-\pi,\pi]上满足：

  • 连续或有有限个第一类间断点
  • 有有限个单调区间

则f(x)f(x)可展开为处处收敛的傅里叶级数且

S(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)={f(x),在x处连续 lim⁡x→x−f(x)+lim⁡x→x+f(x)2,x为间断点a0=1π∫−ππf(x)dx, an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx, bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx\begin{align}&S(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\begin{cases}f(x),&在x处连续\\\ \large\frac{\lim_{x\rightarrow x^-}f(x)+\lim_{x\rightarrow x^+}f(x)}2,&x为间断点\end{cases}\\&a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)dx,\ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nxdx,\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nxdx\end{align}

T=2l\bf T=2l(一般周期)函数

f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡πlnx+bnsin⁡πlnx)a0=1l∫−llf(x)dx, an=1l∫−llf(x)cos⁡πlnxdx, bn=1l∫−llf(x)sin⁡πlnxdx\begin{align}&f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos \frac\pi lnx+b_n\sin \frac\pi lnx)\\&a_0=\frac1l\int_{-l}^l f(x)dx,\ a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos \frac \pi lnxdx,\ b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin \frac \pi lnxdx\end{align}

延拓：给一个只在有限区间上有定义的函数添加定义(如新定义它的周期)，从而拓广函数的定义域

在[0,l][0,l]上有定义的函数的傅里叶展开：在[−l,0)[-l,0)上添加定义即可，有两种：

  • 奇延拓：使其展成正弦级数， f(x)∼∑n=1∞bnsin⁡πlnx\begin{align}f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin \frac\pi lnx\end{align}
  • 偶延拓：使其展成余弦级数， f(x)∼a02+∑n=1∞ancos⁡πlnx\begin{align}f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos \frac\pi lnx\end{align}