矩阵

概念

形如

[a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋮am1am2...amn]\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}\end{matrix}\right]\end{align}

的矩阵称为m×nm\times n矩阵，记为Am×nA_{m\times n}

  • 行矩阵/列矩阵：只有一行/一列的矩阵
  • nn阶矩阵：An×nA_{n\times n}
  • 三角形矩阵(00一般省略不写)：三角形矩阵一定是方阵
    • 对角矩阵： [a110...00a22...0⋮⋮⋮00...ann]\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&0&...&0\\0&a_{22}&...&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}，记为diag(a11,a22,⋯ ,ann)\rm diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})
    • 上三角矩阵： [a11a12...a1n0a22...a2n⋮⋮⋮00...ann]\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\0&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}
    • 下三角矩阵： [a110...0a21a22...0⋮⋮⋮am1am2...ann]\begin{align}\left[\begin{matrix}a_{11}&0&...&0\\a_{21}&a_{22}&...&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm nn}\end{matrix}\right]\end{align}
  • 单位矩阵：diag(1,1,⋯ ,1)\rm diag(1,1,\cdots,1)，记为EE或II
  • 同型矩阵：行、列数相同的两矩阵

运算

基本运算

  • 加/减法运算：A+BA+B即把各对应的元素相加/减，其中A、BA、B必须是同型矩阵
  • 数乘运算：kAk\bf A即每个元素都乘上kk
  • 乘法运算：Am×kBk×m=Cm×nA_{\rm m\times k}B_{\rm k\times m}=C_{\rm m\times n}， cij=∑a=1kaiabaj\begin{align}c_{ij}=\sum_{a=1}^ka_{\rm ia}b_{\rm aj}\end{align}

运算的性质

加减法与数乘运算的性质不赘述

  • 一般AB≠BAAB\ne BA，若AB=BAAB=BA，则A、BA、B为同阶方阵
  • A≠OA\ne O时，若AB=ACAB=AC，一般B≠CB\ne C
  • 若AB=OAB=O，一般A≠OA\ne O或B≠OB\ne O；若A≠OA\ne O且B≠OB\ne O，ABAB可能等于OO
  • A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C
  • k(AB)=(kA)B=A(kB)k(AB)=(kA)B=A(kB)
  • A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC；(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC
  • AE1=E2A=AAE_1=E_2A=A，若AA为方阵，则E1=E2E_1=E_2
  • 两个同阶且相同类型的三角形矩阵相乘还是对应类型的三角形矩阵，且新矩阵对角元等于两矩阵对角元相乘

线性方程组的矩阵形式

形如

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,                 ⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{align}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1\rm n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2\rm n}x_n=b_2,\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{\rm m1}x_1+a_{\rm m2}x_2+\cdots+a_{\rm mn}x_n=b_m\end{cases}\end{align}

的mm条nn元一次方程组称为m×nm\times n型方程组的一般形式

令

A=[a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋮am1am2...amn],x=[x1x2⋮xn],b=[b1b2⋮bn]\begin{align}A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}\end{matrix}\right],x=\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right],b=\left[\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{matrix}\right]\end{align}

则Ax=bAx=b，这是它的矩阵形式，其中AA称为系数矩阵，bb称为常数向量

增广矩阵：[A,b]=[a11a12...a1nb1a21a22...a2nb2⋮⋮⋮⋮am1am2...amnbm][A,b]=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1\rm n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2\rm n}&b_2\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{\rm m1}&a_{\rm m2}&...&a_{\rm mn}&b_m\end{matrix}\right]

当b=Ob=O时，称为齐次线性方程组

转置

定义

An×mA_{n\times m}称为Am×nA_{m\times n}的转置矩阵，记为ATA^{\rm T}

转置的性质

  • (A+B)T=AT+BT(A+B)^{\rm T}=A^{\rm T}+B^{\rm T}
  • (AB)T=BTAT(AB)^{\rm T}=B^{\rm T}A^{\rm T}
  • 对称矩阵/反称矩阵：设AA为方阵，若AT=AA^{\rm T}=A，则为对称矩阵；若AT=−AA^{\rm T}=-A，则为反称矩阵
  • 正交矩阵：若ATA=AAT=EA^{\rm T}A=AA^{\rm T}=E，称AA为正交矩阵
  • 幂零矩阵：若存在正整数mm，使Am=OA^m=O，则称AA为幂零矩阵
  • 幂等矩阵：若A2=AA^2=A，称AA为幂等矩阵
  • 对合矩阵：若A2=EA^2=E，称AA为对合矩阵

分块矩阵

分块后矩阵的运算与一般矩阵类似，若A=[A11⋯A1n⋮⋮Am1⋯Amn]A=\left[\begin{matrix}A_{11}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mn}\end{matrix}\right]，则AT=[A11T⋯A1nT⋮⋮Am1T⋯AmnT]A^{\rm T}=\left[\begin{matrix}A_{11}^{\rm T}&\cdots&A^{\rm T}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\A^{\rm T}_{m1}&\cdots&A^{\rm T}_{mn}\end{matrix}\right]

常用分块方法

  • 按行或按列分为mm个nn阶行向量或nn个mm阶列向量
  • 分为2×22\times2的分块矩阵，其中应利用EE或OO或三角形矩阵

矩阵的初等变换

对一个线性方程组进行操作：

  • 调换两条方程的位置
  • 方程两边同乘非零常数
  • 某行乘以一非零常数后加到另一行

不改变该方程组的解，这些操作称为线性方程组的初等变换

对应到增广矩阵上，这些操作为：

  • 对调行变换/对调列变换：对调两行/两列，记为ri↔rjr_i\leftrightarrow r_j或ci↔cjc_i\leftrightarrow c_j
  • 倍乘行变换/倍乘列变换：第ii行/列乘上一个非零常数，记为ri×kr_i\times k或ri×kr_i\times k
  • 倍加行变换/倍加列变换：第ii行/列乘上一个非零常数后加到第jj行/列上，记为rj+krir_j+kr_i或cj+kcic_j+kc_i

称为矩阵的初等变换，有限次变换后可逆，称原矩阵和得到的矩阵等价或相抵

初等矩阵

由EE进行一次初等变换后的矩阵称为初等矩阵(k≠0)(k\ne 0)：

  • 对调矩阵：Ei,jE_{i,j}，即第ii行/列与第jj行/列对调，行或列对调得到的矩阵相同
  • 倍乘矩阵：Ei(k)E_i(k)，即第ii行/列元素乘上kk，行或列倍乘得到的矩阵相同
  • 倍加矩阵：Ei,j(k)E_{i,j}(k)，即第jj行/列乘上kk后加到第ii行/列上，Er=EcTE_r=E_c^{\rm T}

初等矩阵的性质

  • Ei,jT=Ei,j、EiT(k)=Ei(k)、Ei,jT(k)=Ej,i(k)E_{i,j}^{\rm T}=E_{i,j}、E_i^{\rm T}(k)=E_i(k)、E^{\rm T}_{i,j}(k)=E_{j,i}(k)
  • Ei,jEj,i=Ei(k)Ei(k−1)=Ei,j(k)Ei,j(−k)=E，k≠0E_{i,j}E_{j,i}=E_i(k)E_i(k^{-1})=E_{i,j}(k)E_{i,j}(-k)=E，k\ne0

等价标准形

F=[EsOOO]F=\left[\begin{matrix}E_s&O\\O&O\end{matrix}\right]称为AA的等价标准形，AA通过有限次初等变换可以变成FF

FF有特例：[EsO]、[EsO]、[Es]\left[\begin{matrix}E_s&O\end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix}E_s\\O\end{matrix}\right]、\left[\begin{matrix}E_s\end{matrix}\right]

一个矩阵的等价标准形是唯一的

矩阵的行列式

  • 当一个矩阵是方阵时，才有行列式，记为∣A∣|A|
  • ∣AT∣=∣A∣|A^{\rm T}|=|A|
  • ∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A|=\lambda^n|A|
  • ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|
  • ∣AB∣=∣BA∣|AB|=|BA|