行列式

结论

$|A^T|=|A|$
一般矩阵一次对调变换后， $|A|$ 取反
一般矩阵或分块矩阵一次倍加变换后， $|A|$ 不变
$|kA|=k^n|A|$
分块矩阵一次对调变换后， $\left|\begin{matrix}A_{m\times j}&B_{m\times k}\\C_{n\times j}&D\end{matrix}\right|=(-1)^{m\times n}\left|\begin{matrix}C_{n\times j}&D\\A_{m\times j}&B_{m\times k}\end{matrix}\right|=(-1)^{j\times k}\left|\begin{matrix}B_{m\times k}&A_{m\times j}\\D&C_{n\times j}\end{matrix}\right|$
$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
$若A、B都为方阵,\ 则|AB|=|A||B|$
$若A可逆,\ 则A^*=|A|A^{-1}$
$无论A是否可逆,\ |A^*|=\bigg||A|A^{-1}\bigg|=|A|^{n-1},(方便记忆,实际推导分情况)$
$若A、C为方阵,\ 则\left|\begin{matrix}A&B\\O&C\end{matrix}\right|=|A||C|$
$若A、B为同阶方阵,\ 则\left|\begin{matrix}A&B\\B&A\end{matrix}\right|=|A+B||A-B|$
$|A|\ne0\Leftrightarrow A可逆\Leftrightarrow A为非奇异矩阵\Leftrightarrow 对应线性方程组有唯一解\Leftrightarrow r(A)=n$
上条的部分内容为克莱姆法则的一部分，若任一 $n$ 个未知量、 $n$ 条方程的线性方程组中，由系数组成的方阵的行列式不为 $0$ ，则有唯一解，且 $\begin{align}x=(\frac{D_1}D,\frac{D_2}D,\cdots,\frac{D_n}D)\end{align}$ ，其中 $D_j$ 为将原行列式中的第 $j$ 列元素替换成列向量 $b$ 后形成的行列式
特别地，若 $b=O$ ，即齐次线性方程组中， $\begin{cases}有唯一零解,&|A|\ne0\\一定含有非零解，也即无穷多个解,&|A|=0\end{cases}$
行列式某一行(列)元素与本身的代数余子式的乘积为该行列式的值，与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积为 $0$

运算技巧

特殊行列式

对角或上三角或下三角：

\begin{align}|A|=\prod_{n\ge i\ge1}a_{ii}\end{align}

类对角或类上三角或类下三角：

\begin{align}|A|=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\prod_{n\ge i\ge1}a_{ii}\end{align}

范德蒙德行列式：

\begin{align}\left|\begin{matrix}1&\dots&1\\x_1&\dots&x_n\\x_1^2&\dots&x_n^2\\\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&\dots&x_n^{n-1}\end{matrix}\right|=\prod_{n\ge i>j\ge1}(x_i-x_j)\end{align}

例：

\begin{align}\left|\begin{matrix}1&1&1&\dots&1\\2&2^2&2^3&\dots&2^n\\3&3^2&3^3&\dots&3^n\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\n&n^2&n^3&\dots&n^n\end{matrix}\right|\end{align}

，虽然不是范德蒙德行列式，但可以转化为这种形式：每行均可以提出公因子，得原式

\begin{align}=n!\left|\begin{matrix}1&1&1&\dots&1\\1&2&2^2&\dots&2^{n-1}\\1&3&3^2&\dots&3^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&n&n^2&\dots&n^{n-1}\end{matrix}\right|=n!(n-1)!\cdots2!\end{align}

简单行列式消零

一：

大部分元素相同，而且每行、每列只有一个不同的元素，而且这些元素相同时，例如：

\begin{align}\left|\begin{matrix}b&a&\dots&a\\a&b&\dots&a\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a&a&\dots&b\end{matrix}\right|\end{align}

将每一行(列)加到第一行(列)，提出公因子 $b-(n-1)a$ ，再通过倍加变换消掉剩余的 $a$ ，可得到大部分元素为 $0$ 的行列式，特别地，在这个例子里， $|A|=\Big(b-(n-1)a\Big)(b-a)^{n-1}$

若观察到每行(列)元素的和相同，也可以采用这种方法

若观察发现类似范德蒙德行列式，却有某几行有区别，也可采用这种方法

二：三对角行列式

形如

\begin{align}D_n=\left|\begin{matrix}a&b&0&\dots&0\\c&a&b&\dots&0\\0&c&a&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\dots&a\end{matrix}\right|\end{align}

的三对角元分别相同的行列式，可采用递推法

在这个例子里， $D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}$

设 $D_n-xD_{n-1}=y(D_{n-1}-xD_{n-2})$ ，解得

\begin{align}\begin{cases}x=\large\frac{2bc}{a+\sqrt{a^2-4bc}}\\y=\large\frac{a+\sqrt{a^2-4bc}}2\end{cases}\end{align}

或

\begin{align}\begin{cases}x=\large\frac{2bc}{a-\sqrt{a^2-4bc}}\\y=\large\frac{a-\sqrt{a^2-4bc}}2\end{cases}\end{align}

递归代入原方程后可得到两条关于 $D_n$ 和 $D_{n-1}$ 的式子，通过消元即可得到 $D_n$

这种行列式很特殊，事实上三对角行列式都可以采用递推法

三：递推变种

$(1).$ 形如

\begin{align}D_n=\left|\begin{matrix}a&b&0&\dots&0\\0&a&b&\dots&0\\0&0&a&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\c&c&c&\dots&a\end{matrix}\right|\end{align}

或

\begin{align}D_n=\left|\begin{matrix}a&0&0&\dots&b\\c&a&0&\dots&b\\0&c&a&\dots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\dots&a\end{matrix}\right|\end{align}

的行列式也可用递推法

例如，在左式例子中， $D_n=aD_{n-1}+(-1)^{n+1}cb^{n-1}$

又例如，

\begin{align}D_n=\left|\begin{matrix}a&-1&0&\dots&0\\0&a&-1&\dots&0\\0&0&a&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1&x_2&x_3&\dots&a+x_n\end{matrix}\right|=aD_{n-1}+x_1\end{align}

$\therefore D_n=a^n+a^{n-1}x_n+\dots+ax_2+x_1$

若上式 $a=b$ ，还可以采用逐列倍加法，即把第 $i$ 列的元素的 $-1$ 倍加到第 $i+1$ 列上

$(2).$ 形如 $D_{2n}=\left|\begin{matrix}a&&&&&&&b\\&a&&&&&b\\&&\ddots&&&\dots\\&&&a&b\\&&&c&d\\&&\dots&&&d\\&c&&&&&\ddots\\c&&&&&&&d\end{matrix}\right|$ 的 $2n$ 阶行列式也可用递推法

$D_{2n}=(ad-bc)D_{2n-2}、D_2=ad-bc\Rightarrow D_{2n}=(ad-bc)^n$

四：升阶法

当行列式每行(列)中有大部分元素相同，其中有部分元素不同时，可采用升阶法

例如

\begin{align}\left|\begin{matrix}a&x_2&x_3&\dots&x_n\\x_1&b&x_3&\dots&x_n\\x_1&x_2&c&\dots&x_n\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1&x_2&x_3&\dots&y\end{matrix}\right|\end{align}

，由于各行、各列和不相同，不能提出公因子

可以转化为

\begin{align}\left|\begin{matrix}1&x_1&x_2&x_3&\dots&x_n\\0&a&x_2&x_3&\dots&x_n\\0&x_1&b&x_3&\dots&x_n\\0&x_1&x_2&c&\dots&x_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&x_1&x_2&x_3&\dots&y\end{matrix}\right|\end{align}

，利用第一行消去其它行的大部分元素：

\begin{align}\left|\begin{matrix}1&x_1&x_2&x_3&\dots&x_n\\-1&a-x_1&0&0&\dots&0\\-1&0&b-x_2&0&\dots&0\\-1&0&0&c-x_3&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\-1&0&0&0&\dots&y-x_n\end{matrix}\right|\end{align}

再消去第一列的 $-1$ ：

\begin{align}\left|\begin{matrix}{\large1+\frac{x_1}{a-x_1}+\dots+\frac{x_n}{y-x_n}}&x_1&x_2&x_3&\dots&x_n\\0&a-x_1&0&0&\dots&0\\0&0&b-x_2&0&\dots&0\\0&0&0&c-x_3&\dots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&0&\dots&y-x_n\end{matrix}\right|\end{align}

化为上三角行列式

五：逐行(列)倍加法

若大部分相邻两行(列)间的大部分一一对应的元素差距相似，可考虑该方法，例：

\begin{align}D_n=\left|\begin{matrix}0&1&2&\cdots&n-2&n-1\\1&0&1&\cdots&n-3&n-2\\2&1&0&\cdots&n-4&n-3\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\n-2&n-3&n-4&\cdots&0&1\\n-1&n-2&n-3&\cdots&1&0\end{matrix}\right|\end{align}

行和不相同，列和也不相同，但观察到第 $i-1$ 行的大部分元素为第 $i$ 行对应元素减 $1$ ，则逐行向后倍加(第 $i+1$ 行乘 $-1$ 倍加到第 $i$ 行， $i$ 从 $1$ 开始)：

\begin{align}&D_n=\left|\begin{matrix}-1&1&1&\cdots&1&1\\-1&-1&1&\cdots&1&1\\-1&-1&-1&\cdots&1&1\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\-1&-1&-1&\cdots&-1&1\\n-1&n-2&n-3&\cdots&1&0\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}0&2&2&\cdots&2&1\\0&0&2&\cdots&2&1\\0&0&0&\cdots&2&1\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0&1\\n-1&n-2&n-3&\cdots&1&0\end{matrix}\right|\\&=(-1)^{1+n}(n-1)2^{n-2}\end{align}

行列式#

结论#

运算技巧#

特殊行列式#

简单行列式消零#

行列式

结论

运算技巧

特殊行列式

简单行列式消零