矩阵的秩

矩阵判别

秩的性质

• $r(A_{m\times n})\le\min(m,n)$，换句话说，如果确定$r(A)\ge m$或$n$，则$r(A)=m$或$n$
• 通过将矩阵化为行阶梯型或行最简型求具体矩阵的秩，如果求线性方程组系数阵的秩，应该只进行初等行变换；有时也通过定义求解

秩与其它运算

• $r(lA)=\begin{cases}r(A)&l\ne0\\0&l=0\end{cases}$
• $r(A^{-1})=r(A)=n、r(A)\begin{cases}<n&|A|=0\\=n&|A|\ne0\end{cases}$
• $P、Q$可逆$\Leftrightarrow r(PAQ)=r(A)$
• $r(A\pm B)\le r(A)+r(B)$，通常使用右$\rightarrow$左限定范围
• $$\begin{align}r(A)+r(B)-n\le r(A_{m\times n}B_{n\times m})\le \min\Big(r(A),r(B)\Big)\end{align}$$，乘积秩不增加
• $r(A^*)=\begin{cases}n&r(A)=n\\1&r(A)=n-1\\0&r(A)<n-1\end{cases}$
• $r(AA^T)=r(A^TA)=r(A)=r(A^T)$
  • $A^TAx=0$与$Ax=0$同解$\Rightarrow k-r(A^TA)=k-r(A)\Rightarrow r(A^TA)=r(A)$
  • $AA^Tx=0$与$A^Tx=0$同解$\Rightarrow k-r(AA^T)=k-r(A^T)\Rightarrow r(AA^T)=r(A^T)=r(A)$
• 分块矩阵：
  • $r\left(\begin{matrix}A&C\\O&B\end{matrix}\right)\ge r(A)+r(B)$，若$C=O$，则$=r(A)+r(B)$
  • 增广矩阵$\max(r(A),r(B))\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$
  • $r(A,B)=r(B,A)$

向量组

线性相关

• 定义：若存在一组不全为$0$的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使$0$能够被向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示，则称该向量组线性相关
• 性质：
  • 线性无关组删去向量仍无关、线性相关组添加向量仍相关
  • 线性无关组添加分量仍无关、线性相关组删去分量仍相关
  • 向量组$A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$线性无关，$B(A,\beta)$线性相关$\Leftrightarrow\beta$可由$A$唯一线性表示
  • 一组向量线性相关$\Leftrightarrow$不满秩$\Leftrightarrow$极大无关组个数小于$n$$\Leftrightarrow$至少有一个向量能被其余向量表示
  • 一组向量线性无关$\Leftrightarrow$定义式中系数$k$全为且只能为$0$，故可用待定系数法求解线性无关问题
• 极大无关组
  • 向量组中任意一个向量都能被极大无关组表示
  • 等价矩阵的极大无关组

秩与等价

• 秩的判别：
  • 定义：存在$r$个向量线性无关，任意$r+1$个向量线性相关
  • 极大线性无关组不唯一
  • 化为矩阵判别更高效
• 若两个向量组能互相线性表示，称为等价，等价性质：
  • 等价矩阵对应的向量组也等价，且极大无关组的序号一致，线性相关性也一致
  • 子向量组可由父向量组线性表示
  • 向量组与其极大无关组等价、向量组的两个极大无关组等价
  • $A$可由$B$线性表示$\Leftrightarrow r(B)=r(B,A)\le r(A)+r(B)\Leftrightarrow r(A)\le r(B)$$\Leftrightarrow$存在$K$，使$A=BK$，其中设$\begin{cases}\alpha_1=B\vec k_1\\\cdots\\\alpha_n=B\vec k_n\end{cases}$，则$K=\Big(k_1,k_2,\cdots,k_n\Big)$，$k_i$为列向量
  • 若$A$可由$B$线性表示且两向量组的向量个数相同，则证明$A\equiv B$就是证明$K$可逆
  • $A、B$等价$\Leftrightarrow r(A)=r(A,B)=r(B)$
  • 反推，如果$A$不可由$B$线性表示$\Leftrightarrow r(B)<r(B,A)\Leftrightarrow r(B)<r(A)$

线性方程组中的应用

齐次线性方程组

• 设$n$为未知量的个数
• 齐次线性方程组一定有解，即$r(A)\equiv r(A,\beta)$，$\begin{cases}r(A)=n&有唯一零解\\r(A)<n&有无穷解\end{cases}$
• 若有无穷解：
  • 基础解系为解向量组的极大无关组，且个数为$n-r(A)$
  • 求基础解系的过程就是找出$n-r(A)$个线性无关的解组
  • 通解为 $$\begin{align}\sum_{i=1}^{n-r(A)}k_i x_i\end{align}$$
  • 在齐次方程组中，找另一个基础解系的过程就是找和已知基础解系等价的向量组

非齐次线性方程组

• $\begin{cases}r(A)\ne r(A,\beta)&无解\\r(A)=r(A,\beta)=n&有唯一解\\r(A)=r(A,\beta)<n&有无穷解\end{cases}$
• 若有无穷解：
  • 基础解系仍是解向量组的极大无关组，且个数为$n-r(A)+1$
  • 对应齐次线性方程组的基础解系，再加上本身的一个特解，不是基础解系，但构成它的通解
  • 由于$\beta\ne0$，方程组的两个不同解一定线性无关
  • 通解为 $$\begin{align}X+\sum_{i=1}^{n-r(A)}k_i x_i\end{align}$$，其中$x_i$为齐次线性方程组的解
• 无论$Ax=\beta$是否有解，$A^TAx=A^T\beta$一定有解
  • $r(A^TA)\le r(A^TA,A^T\beta)=r(A^T(A,\beta))\le r(A^T)=r(A^TA)$

求解过程

• 对一个非齐次线性方程组，有$Ax=b$，先找$Ax=0$的通解，再找$Ax=b$的一个特解
• 将$A$化为行最简型，找出自由变量(非阶梯处，个数一定为$n-r(A)$个)，依次令其中一个为$1$，同时其余自由变量为$0$，解出$n-r(A)$个解向量，即为基础解系
• 回到$Ax=b$，令所有自由变量为$0$，解出的解向量即为特解
• 齐次线性方程组解的线性组合仍是该方程组的解
• 一个非齐次线性方程组的解和多个对应齐次线性方程组的解的线性组合仍是该非齐次线性方程组的解
• 非齐次线性方程组的解的线性组合仍为该方程组的解$\Leftrightarrow$系数和为$1$
• 非齐次线性方程组的解的差是对应齐次线性方程组的解

条件推理复习