大学物理: 经典力学

经典力学

位置矢量：质点在指定参考系下的坐标向量，用 $\vec r$ 表示，简称位矢
运动方程：位置矢量关于时间的方程，用 $\vec r=\vec r(t)$ 表示，也称运动函数
速度矢量：位矢对时间的一阶导数，用 $\bar v(t)$ 表示，其方向与位移方向一致
加速度矢量：速度对时间的一阶导数，用 $\bar a(t)$ 表示，其方向总是指向轨道曲线的内侧
若已知质点的加速度和初始状态，求运动方程相当于解微分方程的初值问题
加速度可分解为 $\boldsymbol{a}=a_t\boldsymbol{\tau}+a_n\boldsymbol{n}$ $a = a_{t} τ + a_{n} n$ ，其中：
- $a_t$ 为切向加速度， $a_n$ 为法向加速度(向心加速度)， $\boldsymbol{\tau}$ 为速度的单位切向量， $\boldsymbol{n}$ 为速度的单位法向量
- $\begin{align}a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}、a_n=\frac{v^2}{R}\end{align}$ ，其中 $v$ 为速度的大小

牛顿定律只对惯性系生效
牛顿第一定律(惯性定律)：任何不受力物体的物体保持静止或匀速直线运动状态
- 力是物体运动状态改变的原因
- 物体具有惯性，即保持其静止或匀速直线运动状态不变的属性
牛顿第二定律：
- 动量 $\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$
- 力 $\begin{align}\boldsymbol{F}=\frac{\mathrm d\boldsymbol{p}}{\mathrm dt}\end{align}$ ，当质量为关于 $t$ 的常数时， $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$
- 力恒定时，质量越大、加速度越小、物体惯性越大
牛顿第三定律：相互作用力总是大小相等、方向相反、作用在一条直线上

参考系：可以是任意物体，以该物体作为参考系原点，即称其他物体是相对于该参考系的
惯性系：在惯性系中，只要物体不受力，它就满足牛一；即惯性系本身不具有加速度
绝对时空观：
- 在不同参考系下(分别记为 $S、S'$ ，原点为 $O、O'$ ，质点为 $P$ )，满足 $\boldsymbol{O'P}=\boldsymbol{r}'(t)、t=t'$
- 伽利略变换：设
  $\begin{align}\boldsymbol{u}=\frac{\mathrm d\boldsymbol{OO'}(t)}{\mathrm dt}\end{align}$
  ，则不同参考系下同一质点：
  - 位矢关系： $\boldsymbol r(t)=\boldsymbol r'(t)+\boldsymbol{OO'}(t)$ ，即 $\boldsymbol{OP}=\boldsymbol{OO'}+\boldsymbol{O'P}$
  - 速度关系： $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{u}$
  - 加速度关系： $\begin{align}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}'+\frac{\mathrm d\boldsymbol{u}}{\mathrm dt}\end{align}$
- 伽利略坐标变换：若两惯性系在相对做匀速直线运动，则 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{C}$ ，有： $\begin{cases}x=x'+ut\\y=y'\\z=z'\\t=t'\end{cases}$
惯性力存在于非惯性系中，且 $\boldsymbol{F}_i=-m\boldsymbol{a}$ ，其中 $\boldsymbol{a}$ 为非惯性系的加速度

动量是牛顿第二定律的另一种形式
动量定理：力是动量对时间的导数，冲量是力对时间的积分
- 冲量 $\begin{align}\boldsymbol{I}=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}(t)\mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm d\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1\end{align}$
动量守恒定律：若某质点系所受合外力为零，则 $\sum\limits_ i\boldsymbol{p}_i=\boldsymbol{C}$ ，例如质点系静止或做匀速直线运动
质心运动定理：
- 质心坐标 $\begin{align}\boldsymbol{r}_c=\frac{\int_\Omega\rho\ \boldsymbol{r}\mathrm d\Omega}{m}\end{align}$ ，其中 $c$ 为质心这个点， $\boldsymbol{r}$ 为质点系中任意一点的位矢
- 若该质点系满足动量守恒定律，则 $\sum\limits_ i\boldsymbol{F}_i=m\boldsymbol{a}_c$

设质点 $P$ 相对于 $O$ 的位矢为 $\boldsymbol{r}$ ，且所受外力为 $\boldsymbol{F}$ ，则定义 $\boldsymbol{F}$ 对 $O$ 的力矩为 $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r\times F}$
力矩由力的大小、方向、作用点以及某固定点生成
角动量(动量矩)：与力矩的定义方式类似， $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r\times p}$ ，它包含动量对某固定点的角度信息
角动量定理：力矩是角动量对时间的导数
角动量守恒定律：若某质点系所受合外力矩为零，则 $\sum\limits_ i\boldsymbol{L}_i=\boldsymbol{C}$ ，例如质点系做直线运动或做匀速圆周运动

力做功 $\begin{align}A=\int_L\boldsymbol{F}\mathrm d\boldsymbol{r}=\int_L\boldsymbol{F·v}\ \mathrm dt\end{align}$ ，恒力做功 $A=\boldsymbol{F·\Delta r}$
根据格林公式及斯托克斯公式，将做功与路径无关，即 $\boldsymbol{F}$ 的雅可比行列式为 $0$ 的力称为保守力
功率 $\begin{align}P=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\boldsymbol{F·v}\end{align}$
动能定理： $\begin{align}E_k=\frac12mv^2\end{align}$ ， $A=\Delta E_k$
保守内力做功 $A=-\Delta E_p$
机械能守恒定律：如果系统只有保守内力做功，则 $E_M=E_k+E_p=C$

完全非弹性碰撞：动量守恒，但有非保守内力做功，只满足 $m_合\boldsymbol{v}_合=m_1\boldsymbol{v}_1+m_2\boldsymbol{v}_2$
完全弹性碰撞：动量守恒且机械能守恒
- 矢量式： $m_1\boldsymbol{v}_{10}+m_2\boldsymbol{v}_{20}=m_1\boldsymbol{v}_1+m_2\boldsymbol{v}_2$
- $\begin{align}\frac{m_1v_{10}^2}2+\frac{m_2v_{20}^2}2=\frac{m_1v_{1}^2}2+\frac{m_2v_{2}^2}2\end{align}$
- 若 $m_2$ 初速度为 $0$ ，则 $\begin{align}\boldsymbol{v}_1\boldsymbol{·v}_2=\frac{m_1-m_2}{2m_1}v_2^2\end{align}$ ，即 $\begin{align}\cos<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=\frac{m_1-m_2}{2m_1}\frac{v_2}{v_1}\end{align}$
- 若为对心碰撞，则可总结出更一般的速度式，因为此时 $\cos<\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2>=-1$ ，动量守恒式变成标量式： $\begin{align}\begin{cases}v_1=\frac{\large(m_1-m_2)v_{10}+2m_2 v_{20}}{\large m_1+m_2}\\v_2=\frac{\large2m_1v_{10}+(m_2-m_1)v_{20}}{\large m_1+m_2}\end{cases}\end{align}$ (借助平方差公式推导)

角速度大小：
$\begin{align}\omega=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}=\frac1r\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=\frac vr\end{align}$
角速度方向： $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega\times r}$
角加速度和加速度的关系：
- $\begin{align}a_t=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=r\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=r\alpha\end{align}$
- $\begin{align}a_n=\frac{v^2}{r}=r\omega^2\end{align}$
- $\begin{align}\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm d(\boldsymbol{\omega\times r})}{\mathrm dt}=\boldsymbol{\alpha\times r}+\boldsymbol{\omega\times v}\end{align}$
刚体绕定轴转动时，轴向动量和位矢垂直，故轴向角动量的大小 $L_i=|\boldsymbol{r\times p}_i|=mr_iv_i=mr_i^2\omega_i$
定义刚体绕某轴旋转的转动惯量为
$\begin{align}J=mr_i^2=\int_\Omega \rho\ r_i^2\mathrm d\Omega\end{align}$
，则轴向角动量的大小为 $L_i=J\omega$ ，轴向力矩大小为 $M_i=J\alpha$
刚体定轴转动定律：刚体绕定轴的角加速度和轴向力矩成正比，类比加速度和力的关系 $F=ma$
转动问题中，
$\begin{align}A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M_i\mathrm d\theta\end{align}$
，即外力做的功等于轴向力矩和角位移的积
转动动能：
$\begin{align}E_k=\frac12J\omega^2\end{align}$